[escepticos] RE ¿Por qué iba a aceptar un axioma si no es autoevidente?

[Jose Ramón Brox]

>Deja que dejes las aulas de la universidad y te enfrentes al mundo
>triste y cruel de ahí fuera...;-).

De ahí la inclusión de los casos iniciales a)-e) ;-) De todas formas, sé lo que es 
trabajar durante un año descargando camiones de muebles de cocina en obras sin las 
condiciones mínimas de seguridad, así que no se trata de no tener los pies en la tierra 
:D. Hago este comentario porque me sirve para ejemplificar muy bien lo que trato de 
argumentar en el resto del mensaje: que exista una realidad no impide el pensamiento 
idealista ajeno a dicha realidad, independiente de ella (independiente porque puede estar 
de acuerdo con ella, contradecirla, o incluso referirse a aspectos en los simplemente no 
sean comparables).

>Y mi visión de las matemáticas no creo que
>tienda a ser más estrecha sino más amplia. De hecho estoy poco menos
>que dudando de la supuesta pureza de las matemática, es decir, de que
>exista una línea divisoria tan clara entre la manera de hacer
>matemáticas y la manera de hacer ciencias naturales y la diferencia de
>estatus de las afirmaciones en cada disciplina.

Eso es precisamente lo que yo considero un estrechamiento de miras: estás perdiendo finura 
en una categorización bien determinada, con lo que estás consiguiendo una visión más 
simple.

>Como reflejado en la
>conocida tira http://imgs.xkcd.com/comics/purity.png

Precisamente a tenor de dicha lista escribí un post por ahí relacionado con este tema. Te 
lo reproduzco al final del mensaje, por si te interesa :-) Lamentablemente, está en inglés 
y no tengo tiempo de traducirlo, pero creo que no tendrás problema.

>¿Qué es una demostración?. Una
>demostración es un algoritmo que coje como entrada unos axiomas y saca
>como salida lo que quieres demostrar (¿o estoy equivocado?).

Si añades a la ecuación las reglas de inferencia que se consideren válidas, entonces 
estamos básicamente de acuerdo. Este detalle no es trivial desde el punto de vista 
matemático.

>En el
>fondo es un proceso físico y por lo tanto debe estar sometido a
>restricciones de las leyes de la física.

¡Wooo! Esto desde mi punto de vista es un non-sequitur como una catedral (perdón por la 
expresión :P). No veo de ninguna manera que estas conclusión se siga de las premisas 
anteriores, y además es claramente falsa. Yo puedo tomar unos axiomas determinados, unas 
reglas de inferencia (nada anormal, las habituales), y demostrar que tengo dos ovejas si y 
solamente si tengo tres ovejas. Creo que eso está restringido por las leyes de la física 
(al menos con nuestro conocimiento actual ;-P) y sin embargo ninguna fuerza de la 
naturaleza me ha detendría a lo largo del proceso.

De hecho, es el recíproco el que sí creemos cierto: los procesos físicos deben estar 
restringidos a las leyes de la matemática (de la lógica y la metamatemática), de ahí que 
(al menos) desde Hilbert y Einstein se esté intentando la axiomatización de la física o 
encontrar la "teoría del todo". Sé que esta es otra cuestión, pero me parece relevante 
mencionarla porque en este contexto, si no se tiene cuidado, se acaba utilizando el 
recíproco para sostener la argumentación del directo, y eso no es lícito :D

>En computación clásica, una
>máquina de turing puede ser construida de manera abstracta y parecen
>matemáticas puras aunque en el fondo estás asumiendo que se pueden
>definir clasicamente estados bien definidos.

Es que SE PUEDE. Tomas ciertos axiomas, aplicas la lógica y consigues por ejemplo los 
axiomas de Peano de primer orden, que construyen los naturales (bueno, aproximadamente). 
Si quieres también podríamos construir los naturales de orden superior, y enunciar la 
teoría de funciones recursivas, equivalente a una máquina de Turing sin hacer llamamiento 
a ningún tipo de "artefacto" camuflado.

Esto no tiene nada que ver con los estados que podamos obtener o dejar de obtener en el 
mundo físico, precisamente porque las matemáticas no están supeditadas a la física: en 
mates lo que se puede construir, existe (también existen entes que no se pueden 
construir). De la misma manera, dudo de que sea físicamente posible construir un modelo de 
R^10^10^100 en nuestro universo, pero no tengo ninguna duda de la existencia matemática 
(perfectamente definida) de este conjunto, porque se puede construir en base a unos 
axiomas mediante reglas de inferencia (salvo que se demuestre la incoherencia de dichos 
axiomas, claro).

>Pero ahora viene la
>pregunta que se está haciendo la gente, ¿se puede simular un ordenador
>cuántico con una máquina de turing?.

Esta pregunta no es física, sino matemática: la computación cuántica teórica es una rama 
de la informática, no de la física. Se toma un modelo de computación, inspirado por 
ecuaciones que modelan ciertos procesos físicos, se trata de hacer "ingeniería" con ellas 
y de averiguar el límite teórico de cálculo que se podría obtener. Lo que ocurra luego en 
la realidad es irrelevante para la respuesta: tomando de partida esos supuestos, se puede 
llegar hasta un punto que responderá la pregunta de forma afirmativa, negativa o 
indecidible; y luego podrá resultar que en la realidad se pueda aproximar ese límite, se 
encuentre una dificultad fundamental, no se pueda construir en absoluto dicho computador 
cuántico, o las ecuaciones resulten un modelo erróneo.

En definitiva, la respuesta a esa pregunta depende de los axiomas que demos para un 
computador cuántico y para una máquina de Turing, no del resultado del experimento de 
construir en la realidad "máquina de Turing" que intente simular un "computador cuántico": 
jamás podríamos estar seguros de si los modelos físicos corresponden con nuestros axiomas, 
además alguna de ellas podría resultar físicamente irrealizable sin que eso cambie el 
carácter de la respuesta.

>Nadie lo sabe, y la interacción
>entre la física y una parte fundamental de lo que llamaba  Pepe
>metamatemática es obvia. Ahí tienes un problema. Y la respuesta ¿habrá
>que probarla o demostrarla?.

Claro que sí, pero la relación es la recíproca, que es lo que te comentaba antes. Hay una 
relación fundamental porque creemos que la física es modelable mediante la matemática, no 
porque se dé una relación contraria.

¿La respuesta a qué? Si es a lo de la computabilidad clásica de un computador cuántico, 
entonces hay que demostrarla a partir de unos axiomas bien definidos.

>Todo eso lo cuento porque muchas objeciones que se me han puesto en la
>conversación viene del hecho de que use el ejemplo de las geometrías
>no euclídeas, puesto que existen partes de las matemáticas mucho más
>alejadas de la intuición y de hecho qué menos intuitivo que una
>máquina de turing.

Aquí ya entramos en el terreno de la opinión. A mí particularmente no me parece que una 
máquina de Turing esté alejada de la intuición, precisamente porque mi intuición deriva en 
una buena parte del mundo físico, y ahí tenemos cosas que sin duda parecen máquinas de 
Turing.

>Pero la interacción con la física sigue estando ahí
>en las propias entrañas de las matemática. Otro ejemplo relacionado
>serían las desigualdades de Bell.

De nuevo, es la matemática la que está en las entrañas de la física en este caso.

No tengo tiempo de leer los enlaces que dabas a continuación, aunque alguno ya lo había 
leído de antes: aunque hay gente muy buena por ahí, creo que no deberías leer solamente lo 
que dicen los físicos, particularmente de esos campos, y menos si están tratando de hacer 
divulgación como Deustch, porque tienden a ser poco rigurosos con la epistemología, que es 
lo que te mencionaba Eloy en otros mensajes (para muchos, la computación es lo que sale de 
un computador). No es cierto que algo sólo sea estudiable desde el punto de vista de la 
computabilidad si se puede construir un mecanismo físico que lo compute; de hecho, por más 
que tengamos una razonable certeza experimental de que nuestros modelos computacionales 
describen bien los que hemos construido en el mundo físico, la barrera de la seguridad (en 
este aserto) es de hecho insalvable. No quiero decir que esto nos impida utilizarlos y 
avanzar tecnológicamente, pero sí que afirmo que desde un punto de vista epistemológico, 
confundir la realidad con el modelo, la teoría matemática con lo físicamente posible, es 
mezclar churras con merinas y adscribirse a una forma de pensamiento poco rigurosa.

¡Un saludo! Jose Brox

PD ¡Aquí va el post que mencionaba antes!

64. Jose Brox - June 28, 2008

I strongly agree with the statement that math is not a science, based on the same 
epistemological reason mentioned before.

When we do: Math
We start from: A set of totally invented axioms
And apply: Deduction
With the objective of: Finding the less-trivial theorems possible, or the "most elegant" 
ones, or indeed, whatever objective we want to set. The mathematician crafts its art in 
his own way, he just have to apply some rules (and he can even change them if he wants!).

When we do: Science (physics)
We start from: A bunch of raw data collected from the real world
And apply: Induction
With the objective of: Finding the smallest/simplest/most elegant set of axioms that 
describe all the events we know and predicts all the future ones. Great and good ideas and 
models could and will go down the sewers if they don't keep up with the reality check.

So, in math we create several axioms and try to go as far of them as we can ("down the 
ladder"), applying several inference rules and asking only for self-consistency.

In contrast, in science we start with non-processed information extracted from the world 
("anywhere in the ladder"), and try to figure out the inverse problem, to go as near as 
possible ("up the ladder") to finding a set of axioms that describe all the world and only 
the world, therefore asking for self-consistency AND consistency with outside reality.

Epistemologically, they are not only different paradigms, they are completely opposite!

Terry [Tao], when you described your papers with their grey areas, you said yourself that 
the first ones were obviously physics, while the last ones where evidently mathematics. 
You couldn't do those distinctions if it weren't for their epistemologic differences. And 
since those differences clearly exist and anyone can see them, it's for the better if we 
make our classification pointing them out.

Finally, the arguments about similar "mindsets" when doing science and math are not very 
strong: I also have a similar mindset when writing science-fiction, making puns, studying 
engineering, extemporizing on the piano and designing boardgames, but I wouldn't classify 
all these activities on the same group (without any finer structure) just because they are 
related, because they involve a mixture of creativity and logic - essentially, all of them 
require to follow some definite rules while trying to surpass them in order to achieve 
novel, surprising results. It's the "twisting of the brain" produced by the confrontation 
of immutable rules (strict, logical thinking) with the wish for innovation (lateral, free 
thinking) what creates that familiar mindset. But we shouldn't classify our activities 
only in attention to the particular mindset we are (or can be) in when we execute them.

Regards!