Re: [escepticos] RE ¿Por qué iba a aceptar un axioma si no es autoevidente?

[Pedro J. Hdez]

El día 9 de agosto de 2008 15:34, Jose Ramón Brox <ambroxius en terra.es> escribió:


>>¿Qué es una demostración?. Una
>>demostración es un algoritmo que coje como entrada unos axiomas y saca
>>como salida lo que quieres demostrar (¿o estoy equivocado?).
>
> Si añades a la ecuación las reglas de inferencia que se consideren válidas, entonces
> estamos básicamente de acuerdo. Este detalle no es trivial desde el punto de vista
> matemático.
>
>>En el
>>fondo es un proceso físico y por lo tanto debe estar sometido a
>>restricciones de las leyes de la física.
>
> ¡Wooo! Esto desde mi punto de vista es un non-sequitur como una catedral (perdón por la
> expresión :P). No veo de ninguna manera que estas conclusión se siga de las premisas
> anteriores, y además es claramente falsa. Yo puedo tomar unos axiomas determinados, unas
> reglas de inferencia (nada anormal, las habituales), y demostrar que tengo dos ovejas si y
> solamente si tengo tres ovejas. Creo que eso está restringido por las leyes de la física
> (al menos con nuestro conocimiento actual ;-P) y sin embargo ninguna fuerza de la
> naturaleza me ha detendría a lo largo del proceso.

Estamos de acuerdo. Pero a lo que voy es que para obtener la
demostración de las tres ovejas a partir de dos ovejas necesitas un
matemático, un ordenador o en general un sistema físico que pueda
procesar información. De hecho, lo que dices es tan trivial como que
se pueden simular en un ordenador mundos virtuales que no respeten las
leyes de la física. Lo que no puedes es tener un simulador que no
respete las leyes de la física. Creo que son dos cosas distintas.
>
> De hecho, es el recíproco el que sí creemos cierto: los procesos físicos deben estar
> restringidos a las leyes de la matemática (de la lógica y la metamatemática),

Si sustituyes por descripción de los procesos físicos coincidimos
plenamente. A no ser que creas que descripción de un proceso y proceso
sean totalmente equivalentes, lo que es una hipótesis metafísica más
fuerte con la que ha jugado por ejemplo Max Tegmark ultimamente
http://arxiv.org/pdf/0709.4024v1 divulgación
http://arxiv.org/abs/0704.0646 técnico

de ahí que
> (al menos) desde Hilbert y Einstein se esté intentando la axiomatización de la física o
> encontrar la "teoría del todo". Sé que esta es otra cuestión, pero me parece relevante
> mencionarla porque en este contexto, si no se tiene cuidado, se acaba utilizando el
> recíproco para sostener la argumentación del directo, y eso no es lícito :D

De hecho Tegmark esgrime el argumento de que cuanto más fundamental es
una teoría física más matemáticas y menos física (o entidades no
definidas matemáticamente si quieres) y que en  última instancia la
teoría del todo sería una teoría puramente matemática. Es si quieres
una referencia que lleva ese punto de vista más estándar al extremo.
Sin embargo tampoco tengo claro que esté justificado. Al final, como
las interpretaciones de la mecánica cuántica termina siendo simple
cuestión de gustos o preferencias.


>
>>En computación clásica, una
>>máquina de turing puede ser construida de manera abstracta y parecen
>>matemáticas puras aunque en el fondo estás asumiendo que se pueden
>>definir clasicamente estados bien definidos.
>
> Es que SE PUEDE. Tomas ciertos axiomas, aplicas la lógica y consigues por ejemplo los
> axiomas de Peano de primer orden, que construyen los naturales (bueno, aproximadamente).
> Si quieres también podríamos construir los naturales de orden superior, y enunciar la
> teoría de funciones recursivas, equivalente a una máquina de Turing sin hacer llamamiento
> a ningún tipo de "artefacto" camuflado.

Concedido. Sabes de esto más que yo. Ahora una pregunta (sólo si
tienes tiempo de contestar, no te vayas a distraer de lo fundamental).
Puedes definir un problema de decisión NPC sin mencionar el concepto
de tiempo.

>
> Esto no tiene nada que ver con los estados que podamos obtener o dejar de obtener en el
> mundo físico, precisamente porque las matemáticas no están supeditadas a la física:

Realmente mi única afirmación --o duda mejor dicho-- al respecto no es
que las matemáticas estén supeditadas a la física, es que la forma de
obtener conocimiento matemático o conocimiento físico son más
similiares de lo que se desprende de la división tan tajante en tu
mensaje que adjuntas. No que las matemáticas estén supeditadas a la
física ni viceversa (obviamente no lo están cuando una teoría física
incluye las dos partes que mencionaba en lo del artículo de Tegmark).
Comento algo más directamente sobre tu mensaje abajo.

en
> mates lo que se puede construir, existe (también existen entes que no se pueden
> construir). De la misma manera, dudo de que sea físicamente posible construir un modelo de
> R^10^10^100 en nuestro universo, pero no tengo ninguna duda de la existencia matemática
> (perfectamente definida) de este conjunto, porque se puede construir en base a unos
> axiomas mediante reglas de inferencia (salvo que se demuestre la incoherencia de dichos
> axiomas, claro).

¿Se puede o no construir, te refieres matemáticamente o físicamente?.
¿Qué quieres decir exactamente con existen objetos que no se pueden
construir?.

>
>>Pero ahora viene la
>>pregunta que se está haciendo la gente, ¿se puede simular un ordenador
>>cuántico con una máquina de turing?.
>
> Esta pregunta no es física, sino matemática: la computación cuántica teórica es una rama
> de la informática, no de la física. Se toma un modelo de computación, inspirado por
> ecuaciones que modelan ciertos procesos físicos, se trata de hacer "ingeniería" con ellas
> y de averiguar el límite teórico de cálculo que se podría obtener. Lo que ocurra luego en
> la realidad es irrelevante para la respuesta: tomando de partida esos supuestos, se puede
> llegar hasta un punto que responderá la pregunta de forma afirmativa, negativa o
> indecidible; y luego podrá resultar que en la realidad se pueda aproximar ese límite, se
> encuentre una dificultad fundamental, no se pueda construir en absoluto dicho computador
> cuántico, o las ecuaciones resulten un modelo erróneo.
>
> En definitiva, la respuesta a esa pregunta depende de los axiomas que demos para un
> computador cuántico y para una máquina de Turing, no del resultado del experimento de
> construir en la realidad "máquina de Turing" que intente simular un "computador cuántico":
> jamás podríamos estar seguros de si los modelos físicos corresponden con nuestros axiomas,
> además alguna de ellas podría resultar físicamente irrealizable sin que eso cambie el
> carácter de la respuesta.

Vale, pero todo eso ha sido sugerido por una propiedad del mundo
físico que podría cambiar lo que entiendes en matemáticas como límite
de los tipos de problemas que puedes resolver en tiempo polinómico.
Eso es todo lo que trato de decir todo el tiempo. Que la física te
sugiere qué tipo de metamatemáticas podría ser relevante --por ejemplo
para los límites en los tipos de problemas que podrías resolver--.

>
>>Nadie lo sabe, y la interacción
>>entre la física y una parte fundamental de lo que llamaba  Pepe
>>metamatemática es obvia. Ahí tienes un problema. Y la respuesta ¿habrá
>>que probarla o demostrarla?.
>
> Claro que sí, pero la relación es la recíproca, que es lo que te comentaba antes. Hay una
> relación fundamental porque creemos que la física es modelable mediante la matemática, no
> porque se dé una relación contraria.
>
> ¿La respuesta a qué? Si es a lo de la computabilidad clásica de un computador cuántico,
> entonces hay que demostrarla a partir de unos axiomas bien definidos.
>
>>Todo eso lo cuento porque muchas objeciones que se me han puesto en la
>>conversación viene del hecho de que use el ejemplo de las geometrías
>>no euclídeas, puesto que existen partes de las matemáticas mucho más
>>alejadas de la intuición y de hecho qué menos intuitivo que una
>>máquina de turing.
>
> Aquí ya entramos en el terreno de la opinión. A mí particularmente no me parece que una
> máquina de Turing esté alejada de la intuición, precisamente porque mi intuición deriva en
> una buena parte del mundo físico, y ahí tenemos cosas que sin duda parecen máquinas de
> Turing.
>
>>Pero la interacción con la física sigue estando ahí
>>en las propias entrañas de las matemática. Otro ejemplo relacionado
>>serían las desigualdades de Bell.
>
> De nuevo, es la matemática la que está en las entrañas de la física en este caso.
>
> No tengo tiempo de leer los enlaces que dabas a continuación, aunque alguno ya lo había
> leído de antes: aunque hay gente muy buena por ahí, creo que no deberías leer solamente lo
> que dicen los físicos, particularmente de esos campos, y menos si están tratando de hacer
> divulgación como Deustch,

Bueno, menciono como referencia cosas de divulgación porque es donde
esta peña suele sintetizar ideas mucho maś difíciles para alguien que
no es experto de entresacarlas de sus artículo técnicos. De hecho,
sería otra discusión sobre si libros como The Road to Reality de
Penrose o The Fabric of Reality de Deutsch no son más que libros
dirigidos a sus colegas que no son capaces de digerir las
publicaciones técnicas aunque en los primeros capítulos suelan
explicar las cosas básicas en tono --más o meos logrado--  de
divulgación.  El argumento publicado de Deutsch está en
http://xxx.lanl.gov/pdf/math/9911150v1

porque tienden a ser poco rigurosos con la epistemología, que es
> lo que te mencionaba Eloy en otros mensajes (para muchos, la computación es lo que sale de
> un computador). No es cierto que algo sólo sea estudiable desde el punto de vista de la
> computabilidad si se puede construir un mecanismo físico que lo compute; de hecho, por más
> que tengamos una razonable certeza experimental de que nuestros modelos computacionales
> describen bien los que hemos construido en el mundo físico, la barrera de la seguridad (en
> este aserto) es de hecho insalvable. No quiero decir que esto nos impida utilizarlos y
> avanzar tecnológicamente, pero sí que afirmo que desde un punto de vista epistemológico,
> confundir la realidad con el modelo, la teoría matemática con lo físicamente posible, es
> mezclar churras con merinas y adscribirse a una forma de pensamiento poco rigurosa.

Cierto, como te mencionaba maś arriba, no es fácil que la gente
(incluso Eloy) en determinados aspectos también confunda realidad con
descripción --como te mencionaba al mencionar lo de Tegmark más
arriba. Porque en última instancia, cuando vamos a aspectos
verdaderamente fundamentales es difícil. Es que si no fuese difícil y
realmente lo tuviéses tan claro escribirías un artículo y te darían
algún premio tu primer año de graduado. Por ejemplo (ya sé que es un
correo y no un artículo) cuando dices


> When we do: Science (physics)
> We start from: A bunch of raw data collected from the real world

Casi cualquier rama clásica de la física es una excepción a esa
afirmación. Galileo creo su física a partir de observaciones que
inducían a pensar en otra dirección. Einstein creó sus dos
relatividades por problemas conceptuales y modelos mentales más que
por datos del mundo real. La cosmología ha sido tradicionalmente hasta
los noventa guiada por la teoría, no por las observaciones. Ahora con
el tema de inflación también está en ese momento. Por supuesto podemos
discutir eternamente si Einstein indujo a partir de esta observación o
la otra o su guía fue esto o aquello, pero eso sería una prueba de que
tu afirmación no es obvia y no es perfectamente discutible.

> And apply: Induction

El problema de la inducción. Otro que daría para un largo debate.

> With the objective of: Finding the smallest/simplest/most elegant set of axioms that
> describe all the events we know and predicts all the future ones. Great and good ideas and
> models could and will go down the sewers if they don't keep up with the reality check.

Decía Lakatos
"Todas la teorías científicas son infalsables. Las que tomamos en
serio son aquellas que llevan a líneas de investigación que progresan
en las que unos pequeños cambios acomodan una franja extensa de
observaciones pasadas y futuras. Y las que abandonamos son aquellas
que llevan a teorías "degeneradas", donde ésta es parcheada y
re-parcheada a la misma velocidad con que entran los nuevos hechos".

Quizás en una visión algo laxa, pero desde luego quien haya hecho algo
de ciencia y conozca un campo de conocimiento relativamente bien
tiende a pensar que es algo intermedio entre lo que tú afirmas y lo
que dice Lakatos.

>
> So, in math we create several axioms and try to go as far of them as we can ("down the
> ladder"), applying several inference rules and asking only for self-consistency.
>
> In contrast, in science we start with non-processed information extracted from the world
> ("anywhere in the ladder"), and try to figure out the inverse problem,

De nuevo el problema de la inducción. El problema inverso es
básicamente irresoluble en la mayoría de casos. Por ejemplo la fórmula
de Balmer sería un ejemplo de ese proceso que mencionas. Pero
normalmente lo que busca es el modelo de Bohr y en última instancia la
mecánica cuántica. El salto de uno a otro implica muchísimo más que la
inducción a partir de las observaciones.


to go as near as
> possible ("up the ladder") to finding a set of axioms that describe all the world and only
> the world, therefore asking for self-consistency AND consistency with outside reality.
>
> Epistemologically, they are not only different paradigms, they are completely opposite!

Si mi comentarios tienen algo de sentido, esa conclusión también es un
salto al vacío muy gordo.

saludos


Pedro J.
>
> Terry [Tao], when you described your papers with their grey areas, you said yourself that
> the first ones were obviously physics, while the last ones where evidently mathematics.
> You couldn't do those distinctions if it weren't for their epistemologic differences. And
> since those differences clearly exist and anyone can see them, it's for the better if we
> make our classification pointing them out.
>
> Finally, the arguments about similar "mindsets" when doing science and math are not very
> strong: I also have a similar mindset when writing science-fiction, making puns, studying
> engineering, extemporizing on the piano and designing boardgames, but I wouldn't classify
> all these activities on the same group (without any finer structure) just because they are
> related, because they involve a mixture of creativity and logic - essentially, all of them
> require to follow some definite rules while trying to surpass them in order to achieve
> novel, surprising results. It's the "twisting of the brain" produced by the confrontation
> of immutable rules (strict, logical thinking) with the wish for innovation (lateral, free
> thinking) what creates that familiar mindset. But we shouldn't classify our activities
> only in attention to the particular mindset we are (or can be) in when we execute them.
>
> Regards!
>
> _______________________________________________
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> Escepticos en dis.ulpgc.es
> http://correo.dis.ulpgc.es/mailman/listinfo/escepticos
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-- 
Pedro J. Hdez
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