[escepticos] Matemáticas, ¿invento o descubrimiento?

[Eloy Anguiano Rey]

> Opino que las matemáticas se inventan*. Lo que ocurre es que los objetos
> matemáticos nos dan a los que hemos trabajado con ellos la impresión de
> tener una naturaleza propia, independiente del matemático que la estudia y
> del que propuso su existencia por vez primera.

Veo que tienes impresiones similares a las mías.

>  Algo así como ocure con un
> mineral concreto: está cristalizado en sistema rómbico con independencia de
> mi interés, es verde aunque me gustaría más en rojo, y así con todas sus
> propiedades. Yo puedo pensar en catorce sólidos pitagóricos, pero solo
> existen cinco. Sólo puedo pensar en catorce en abstracto, porque cuando me
> pongo a buscarlos, encuentro cinco, y además (una de las maravillas de la
> matemática) encuentro algo maravilloso: la propia demostración de que solo
> pueden haber cinco.

Que parte de una definición que ya INCLUYE el hecho de que hay cinco
aunque no lo supiésemos y la demostración sea fascinante.


> Esto crea en mí una fuerte impresión de que los objetos matemáticos
> comparten con los del mundo real la propiedad de independencia del
> observador, y por lo tanto nos vemos abocados a abrazar el realismo: la
> realidad matemática está ahí afuera, sólo tengo que "mirarla" y aprender sus
> propiedades.

Yo no veo tal cosa. Creo que ciertas definiciones nacen de forma
consistente a partir de las más básicas. La de los sólidos pitagóricos
nace casi directamente de la definición de segmento y el concepto (e
incluso definición de igualdad). La categorización necesaria para
facilitar nuestra comprensión y comprehensión del universo llega
directamente a este tipo de definiciones. No es que existan sino que de
la propia definición de los objetos básicos nacen las definiciones
básicas.

Pongo un ejemplo. El concepto de numeración es básico, de hecho muchos
animales saben contar (aunque muy limitadamente). El concepto de reparto
o división es natural y necesario en sociedad. Hay cosas (indivisibles)
que no son repartibles de forma igualitaria en ningún grupo de personas.
Es evidente que el concepto de número primo nace de la necesidad social
del reparto y del concepto y necesidad de cuantificar (en este caso
también originalmente social).

Vuelvo a recalcar que el problema es que partiendo de estos conceptos
"simples" hemos seguido construyendo objetos que parecen tener "vida
propia" pero para mi es sólo apariencia nacida de la complejidad.

> Esta fuerte impresión (que a mí nunca me ha abandonado) se hace más fuerte
> con algunos objetos; el conjunto de Mandelbrot, con sus bahías y ensenadas,
> cabos y golfos, espirales y abismos. Cualquiera que mire en el mismo sitio
> verá lo mismo: "está ahí". Como no tenemos idea de dónde es "ahí", caemos en
> el platonismo de imaginar un mundo de las ideas ideales en el que viven los
> objetos matemáticos y al que accedemos con la mente, ¿a que sí?


Yo también tengo la impresión pero creo que es sólo una impresión nacida
de la complejidad conceptual.

> Con objetos menos geométricos o más abstractos, la sensación es igual, o
> incluso más fuerte: podemos navegar con la mente en espacios de Hilbert 

Joder, qué virguero. Yo me conformo con chapotear.


> o de
> Sobolev, 

En este no me acerco ni a la orilla.

> en infinitas dimensiones, 


Con más de cuatro ya me pierdo ;-P


> podemos investigar variedades
> diferenciales o espacios topológicos con propiedades alucinantes, y parecen
> "estar ahí".

Tú lo has dicho, parece.


> *
> Creo que todo es fruto de la coherencia interna de la matemática* y que no
> hay mayor secreto. Un objeto matemático es un compromiso entre lo posible
> (que en principio es todo lo que no está prohibido por la lógica) y las
> propiedades que caracterizan a dicho objeto (que son siempre restricciones a
> lo anterior).  Una caracterización no es sino un conjunto no "notas" que
> dirían los filósofos, que independizan este objeto de todos los demás. Si de
> dichas "notas" se deducen consecuencias, dichas consecuencias las
> encontraremos como propiedades del objeto, y no nos debiéramos maravillar en
> exceso por ello.

Yo pienso que los "objetos" no se independizan sino que es al contrario,
la restricción es la que "crea" el concepto. Pero bueno, es el huevo o
la gallina.

> Un ejemplo idiota: No podemos encontrar en el mundo matemático un pentágono
> de seis lados, pero eso no es nada del otro extraordinario: dentro de la
> definición de pentágono está la "nota" de tener cinco lados, que cae en
> contradicción con que tenga seis lados. Esa impresión de realismo viene dada
> de que las restricciones por contradicción de la lógica impiden que ciertas
> cosas existan y asegura de que otras sí existan.

De nuevo el huevo o la gallina. En esto no nos vamos a poner de acuerdo
aunque me da la impresión de que, básicamente, es lo mismo.