Re: [escepticos] RE ** Así sucede o debería suceder

[david en puntoque.net]

JUAS¡
Voy a recopilar todo esto...
Desde mi ignorancia, el punto gordo viene a ser como un círculo-punto, de lo 
que se derivan unas cuantas cosas. Si los puntos pueden ser círculos dejas a 
Newton como un pringao.

----- Original Message ----- 
From: "Jose Ramón Brox" <ambroxius en terra.es>
To: "Lista Escépticos" <escepticos en dis.ulpgc.es>
Sent: Wednesday, June 18, 2008 1:45 AM
Subject: [escepticos] RE ** Así sucede o debería suceder



>SI, pero lo del punto gordo es un puntazo se mire como se mire
>:D

Yo siento una debilidad personal por el Axioma de la Recta Astuta:

"Para toda 3-upla de puntos casi-alineados existe una recta lo 
suficientemente astuta que
pasa por ellos"

:D

Lo que ocurre es que se puede demostrar que este axioma es más débil que el 
teorema del
punto gordo, ya que

"Un punto lo suficientemente gordo anula la astucia de cualquier recta 
astuta"

En efecto: Sean A, B y C tres puntos casi alineados. Esto quiere decir, por 
definición,
que si AB y BC son los vectores directores de las rectas que unen A con B y 
B con C
respectivamente, entonces ángulo(AB, BC) = e (epsilon).

Sea r la recta astuta que pasa por A, B y C. Entonces, de nuevo por 
definición, la astucia
de dicha recta será el área del triángulo ABC, As=área(ABC)

Por la ley del coseno, AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB·BC·cos(e)

Consideremos ahora que A es un punto gordo de radio d (delta). Entonces el 
nuevo ángulo e'
entre AB y BC puede hacerse disminuir hasta que
tan(e') = tan(e) - d/(AB·cos(e)). Vemos pues, ya que la tangente es una 
función creciente,
que e' < e.

Por lo tanto, aumentando nuestro punto gordo A sucesivamente, podemos 
conseguir una
sucesión de deltas tal que e, el ángulo entre AB y BC se haga tan pequeño 
como se quiera.

Esto implica, mediante la ley del coseno y sabiendo que cos(0)=1, que 
conforme d crece y e
tiende a cero, AC^2 tiende a AB^2 + BC^2 - 2AB·BC = (AB^2-BC^2).

Pero si e tiende a cero, entonces AB^2 - BC^2 también tiende a cero pues e 
es el ángulo
entre estas dos rectas. Por consiguiente, AC^2 = (AB^2 - BC^2) tiende a 
cero.

¡Mas si AC^2 tiende a cero, también lo hace el área del triángulo ABC! Y por 
tanto la
astucia de nuestra recta r.

No tenemos más remedio que concluir que un punto gordo lo suficientemente 
gordo anula la
astucia de cualquier recta astuta tanto como se quiera, como queríamos 
demostrar.

:P :P

Un saludo. Jose Brox

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