[escepticos] RE ** Así sucede o debería suceder

[Jose Ramón Brox]

>SI, pero lo del punto gordo es un puntazo se mire como se mire
>:D

Yo siento una debilidad personal por el Axioma de la Recta Astuta:

"Para toda 3-upla de puntos casi-alineados existe una recta lo suficientemente astuta que 
pasa por ellos"

:D

Lo que ocurre es que se puede demostrar que este axioma es más débil que el teorema del 
punto gordo, ya que

"Un punto lo suficientemente gordo anula la astucia de cualquier recta astuta"

En efecto: Sean A, B y C tres puntos casi alineados. Esto quiere decir, por definición, 
que si AB y BC son los vectores directores de las rectas que unen A con B y B con C 
respectivamente, entonces ángulo(AB, BC) = e (epsilon).

Sea r la recta astuta que pasa por A, B y C. Entonces, de nuevo por definición, la astucia 
de dicha recta será el área del triángulo ABC, As=área(ABC)

Por la ley del coseno, AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB·BC·cos(e)

Consideremos ahora que A es un punto gordo de radio d (delta). Entonces el nuevo ángulo e' 
entre AB y BC puede hacerse disminuir hasta que
tan(e') = tan(e) - d/(AB·cos(e)). Vemos pues, ya que la tangente es una función creciente, 
que e' < e.

Por lo tanto, aumentando nuestro punto gordo A sucesivamente, podemos conseguir una 
sucesión de deltas tal que e, el ángulo entre AB y BC se haga tan pequeño como se quiera.

Esto implica, mediante la ley del coseno y sabiendo que cos(0)=1, que conforme d crece y e 
tiende a cero, AC^2 tiende a AB^2 + BC^2 - 2AB·BC = (AB^2-BC^2).

Pero si e tiende a cero, entonces AB^2 - BC^2 también tiende a cero pues e es el ángulo 
entre estas dos rectas. Por consiguiente, AC^2 = (AB^2 - BC^2) tiende a cero.

¡Mas si AC^2 tiende a cero, también lo hace el área del triángulo ABC! Y por tanto la 
astucia de nuestra recta r.

No tenemos más remedio que concluir que un punto gordo lo suficientemente gordo anula la 
astucia de cualquier recta astuta tanto como se quiera, como queríamos demostrar.

:P :P

Un saludo. Jose Brox