Re: [escepticos] ¿OT? Para quienes gusten de las chorraditas artísticas inspiradas en fractales

[Santiago Egido]

Eso es. Si c(n) es el número de cubitos para un n dado, lo que haces es 
calcular el límite cuando n tiende a infinito de log(c(n)) / log(n). Con lo 
cual, si c(n) es 3*n, te sale

dimensión = lim n-> oo log c(n) / log (n) =
= lim n -> oo log(3*n)/log(n)
= lim n -> oo (log(3) + log(n)) / log(n)
= (lim n -> oo log(3) / log(n)) + (lim n->oo log(n)/log(n))
= 0 + 1
= 1

Pero vamos, los detalles de las cuentas pueden ser realmente feos y no son 
muy importantes. La idea es que hay una forma de definir las cosas de forma 
que te quedas con el exponente de n y evitas los detalles de si esta esquina 
o aquella otra. Además, se puede demostrar que ese límite existe, con lo 
cual el que puedas calcularlo con más o menos facilidad tampoco es tan 
relevante (hay unos fractales para los que calcular su dimensión es un 
problema fácil que te enseñan en clase, y hay otros fractales para los que 
calcular la dimensión es una pesadilla).

Saludos,

Santi


----- Original Message ----- 
From: "Jaime Rudas" <jrudasl en gmail.com>
To: "Lista Escépticos" <escepticos en dis.ulpgc.es>
Sent: Friday, February 25, 2011 4:06 AM
Subject: Re: [escepticos] ¿OT? Para quienes gusten de las chorraditas 
artísticas inspiradas en fractales


Hola, Santiago:

> [Jaime]
>> Y hablando de fractales, dimensiones y no poder delucidar quién tiene
>> razón: ¿habrá alguien que entienda (e intente explicar) cómo es eso de 
>> que
>> las dimensiones fractales son un número no entero, mayor que las 
>> dimesiones
>> topológicas?

> [Santiago]
> Te cuento la versión sencilla.

[Jaime]
Muchas gracias, Santiago: creo que entendí el concepto, pero no me
cuadran algunos detalles:

> [Santiago]
> Imagínate que "pixelas" un cubo grande en n por n por n cubitos. Ahora 
> pones
> ahí un plano y te preguntas cuántos cubitos contienen algún punto del 
> plano.
> Bueno, quizás sean n*n, pero claro, según cómo hayas puesto el plano el
> número cambiará un poco; podría ser algo así como 1.3*n*n, más un error 
> que
> digamos que es menor que 0.01*n*n . Si te olvidas de este "un poco",
> observarás que la dimensión del plano es 2, porque en la fórmula n*n = n^2
> el exponente de n es 2.
>
> Imagínate ahora que pones una recta. ¿Cuántos cubitos contendrán algun 
> punto
> de la recta? Unos n. De nuevo podría ser que hubiese escogido una diagonal
> del cubo grande, en cuyo caso el número de cubitos podría ser raiz(3)*n ,
> pero de nuevo, si nos olvidamos de los detalles, la dimensión de la recta 
> es
> 1 porque éste es el exponente que aparece en la fórmula n = n^1.

[Jaime]
Si escogemos exactamente la diagonal, la recta atraviesa n cubos.
Ahora bien, si se desplaza un poco de la diagonal (en dos sentidos) me
da que atraviesa como 3n-2. Entiendo que, igualmente, entre más grande
sea n, más se acerca el exponente a 1. ¿Es así?

Gracias y saludos,

Jaime Rudas
Bogotá
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