Re: [escepticos] ¿Por qué iba a aceptar un axoma si no es autoevidente?. Era imposibiblidad de demostrar una negación.

[Pepe Arlandis]

El 7 de agosto de 2008 18:46, Pedro J. Hdez <phergont en gmail.com> escribió:

> El día 7 de agosto de 2008 17:14, Pepe Arlandis
> <pepe.arlandis en gmail.com> escribió:
> > La autoevidencia no es ninguna propiedad exigible a los axiomas,
>
> ¿Y deseable?.
>
> Sin embargo corrígeme si me equivoco-- sí que es exigible a las reglas
> de inferencia o una demostración no valdría mucho.
> De hecho creo que fue Gödel quien estableció el mínimo de reglas
> necesarias y suficientes para cualquier demostración --el teorema de
> completitud, no?--. Entonces la pregunta --partiendo de las mates que
> sabe un físico de formación-- es si Gödel no refinó la manera de hacer
> demostraciones en matemáticas y por tanto todas las demostraciones
> anteriores podían al menos ponerse en duda hasta que alguien no
> demostrar que todas las reglas de inferencia utilizadas podían ser
> reducidas a las establecidas por Gödel.
>
> saludos
>
> Pedro J.
> ...[suprimido]...
>

El Teorema de Gödel no es un Teorema Matemático, es un teorema
Metamatemático, es decir demuestra una proposición sobre las proposiciones
de las Matemáticas, y a nivel lo más intuitivo posible lo que afirma es:
Cualquier sistema axiomático lo suficientemente complejo como para contener
a la Aritmética Elemental, es incompleto. Aclaro un poco lo que significa
esto para que los no físicos ni matemáticos puedan entenderlo (Si no lo
consiguo, es que no doy pa más). Toda teoría axiomática da de forma
explícita o implícita unas reglas de formación de proposiciones y de
demostración de dichas proposiciones, estas últimas en la casi totalidad de
caso son las de la lógica formal. Entonces a partir de las reglas de
formación de proposiciones se construyen proposiciones, si de cualquier de
estas proposiciones se puede afirmar que es verdadera o falsa, el sistema se
dice que es completo, si podemos encontrar una proposición que no se puede
afirmar si es verdadera o falsa el sistema se dice que es incompleto, por
ejemplo si tenemos una "Geometría  General" sin axioma del paralismo,
Lobatchvski, Boylai y Gauss demostraron que el axioma de las paralelas que
era una proposición que podía ser construida a partir de sistema axiomatico
sin dicho axioma no era ni verdadera ni falsa era indecidible,  entonces la
"Geometría General" sería un sistema axiomático incompleto. Lo que demuestra
Gödel es que todo sistema axiomatico suficiententement complejo como para
ser útil es incompleto, es decir contiene proposiciones indecidibles, es
decir que aunque añadamos el Axioma de las Paralelas a la "Geometría
General" el sistema continua siendo incompleto (otra cosa es si somos o no
capaces de encontrar esas proposiciones indecidibles) No se nada acerca de
la forma de hacer demostraciones matemáticas, lo que si que es cierto es que
no se demuestra igual un Teorema Matemático como un Teorema Metamatemático.
Respecto de la consistencia, una forma de demostrar la consistencia de un
sistema axiomatico es encontrarle un modelo finito por ejemplo si
establecemos una MiniGeometría del plano con los axiomas de incidencia y
paralelismo, el sistema formado por los cuatro vértices de un tetraedro es
un modelo de esta teoría. El problema como siempre es cuando aparece el
infinito, y lo que se desprende de la demostración del Teorema de Gödel es
que es muy poco probable que pueda demostrarse la consistencia de los
sistemas axiomáticos útiles. Es decir todas las proposiciones verdaderas de
la Geometría, son verdaderas suponiendo que los axiomatica en la que nos
basamos es consistente. Tampoco tenemos VERDAD con mayúscula en Matemáticas,
tenemos verdades con minúscula que se podrían ir al carajo en caso de
descubrir la inconsistencia interna de los axiomas.
saludos pepet

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