Re: [escepticos] ¿OT? Para quienes gusten de las chorraditas artísticas inspiradas en fractales

[Santiago Egido]

> Y hablando de fractales, dimensiones y no poder delucidar quién tiene 
> razón: ¿habrá alguien que entienda (e intente explicar) cómo es eso de que 
> las dimensiones fractales son un número no entero, mayor que las 
> dimesiones topológicas?

Te cuento la versión sencilla.

Imagínate que "pixelas" un cubo grande en n por n por n cubitos. Ahora pones 
ahí un plano y te preguntas cuántos cubitos contienen algún punto del plano. 
Bueno, quizás sean n*n, pero claro, según cómo hayas puesto el plano el 
número cambiará un poco; podría ser algo así como 1.3*n*n, más un error que 
digamos que es menor que 0.01*n*n . Si te olvidas de este "un poco", 
observarás que la dimensión del plano es 2, porque en la fórmula n*n = n^2 
el exponente de n es 2.

Imagínate ahora que pones una recta. ¿Cuántos cubitos contendrán algun punto 
de la recta? Unos n. De nuevo podría ser que hubiese escogido una diagonal 
del cubo grande, en cuyo caso el número de cubitos podría ser raiz(3)*n , 
pero de nuevo, si nos olvidamos de los detalles, la dimensión de la recta es 
1 porque éste es el exponente que aparece en la fórmula n = n^1.

Si pones un punto, habrá exactamente un cubito que lo contenga; entonces la 
dimensión del punto es 0, el exponente de n (vale, tú podrías pensar que en 
la fórmula "1" no hay un exponente de n, pero es que 1 = n^0, con lo cual el 
exponente existe y es 0).

¿Y si pones un volumen, como una esfera maciza? Te saldrá una fórmula donde 
el exponente de n será 3. Podrías pensar que si la esfera es muy pequeña 
solo habrá un cubito, pero es que se trata de hacer esto cuando los cubitos 
son muy, muy pequeños (límite cuando n tienda a infinito).

Vale, vamos al grano. Esto mismo lo puedes hacer con cualquier conjunto, no 
sólo los "clásicos", sino también fractales y curvas de Peano y polvos de 
Cantor y demás frikeces. Cuentas los cubitos que contienen algún punto del 
conjunto, y te quedas con el exponente de n que te salga al hacer esa 
cuenta; lo que obtienes es la dimensión de Hausdorf de ese conjunto. Que 
vale 1 para curvas "clásicas", 2 para superficies "clásicas", y puede valer 
cualquier cosa entre 0 y 3 para fractales.

La versión complicada está en 
http://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitch . 
Observa que hay otras varias posibles definiciones de dimensión de un 
fractal, pero por ese camino nos metemos en unos berenjenales que tampoco 
interesan.

Santi