[escepticos] RE ** Lenguajes JMienses(2)

[Jose Ramón Brox]

>Y los registros, todo en un único lenguaje con sus 4
>símbolos.

Uy, se me había escapado un detalle:

Veréis, una teoría de primer orden consta de un conjunto de operaciones y un conjunto de 
relaciones, además de contar con los conectivos ¬,->, el cuantificador V y la relación =. 
Estaba yo eliminando el conjunto de operaciones (tomando el vacío) porque esto se puede 
hacer siempre así, se puede demostrar que cualquier teoría de primer orden es equivalente 
a otra sin operaciones. PERO entonces, si no recuerdo mal, hay que añadir una relación por 
cada operación que se elimine. De esta manera, si queremos construir por ejemplo la teoría 
de conjuntos ZF que comentaba antes necesitamos añadir además la operación entre conjuntos 
'e' (pertenencia), y aunque la convirtamos en relación, seguirá estando ahí, así que 
necesitaremos finalmente 5 símbolos.

Como curiosidad, comento que en lugar de coger una teoría como la de ZF que contiene un 
modelo de la aritmética, podría haber cogido directamente la Teoría de la Aritmética, que 
es lo que nos interesa, pero... ¡la teoría de primer orden de la aritmética necesita más 
símbolos que la teoría de conjuntos! Concretamente, se necesita añadir a ¬,->,V,= las dos 
operaciones '0' (la constante cero) y 'sucesor(n)' (la operación que devuelve n+1), así 
que necesitaríamos 6 símbolos en lugar de 5... aunque parezca paradójico, esto tiene su 
lógica, porque cuantas más restricciones pongamos a las operaciones y deducciones que 
podemos hacer, más "pequeña" será la teoría.

Un saludo. Jose Brox