Re: [escepticos] ¿Por qué iba a aceptar un axoma si no es autoevidente?. Era imposibiblidad de demostrar una negación.

[Pedro J. Hdez]

El día 7 de agosto de 2008 18:34, Pepe Arlandis
<pepe.arlandis en gmail.com> escribió:
> El 7 de agosto de 2008 18:46, Pedro J. Hdez <phergont en gmail.com> escribió:
>
>> El día 7 de agosto de 2008 17:14, Pepe Arlandis
>> <pepe.arlandis en gmail.com> escribió:
>> > La autoevidencia no es ninguna propiedad exigible a los axiomas,
>>
>> ¿Y deseable?.
>>
>> Sin embargo corrígeme si me equivoco-- sí que es exigible a las reglas
>> de inferencia o una demostración no valdría mucho.
>> De hecho creo que fue Gödel quien estableció el mínimo de reglas
>> necesarias y suficientes para cualquier demostración --el teorema de
>> completitud, no?--. Entonces la pregunta --partiendo de las mates que
>> sabe un físico de formación-- es si Gödel no refinó la manera de hacer
>> demostraciones en matemáticas y por tanto todas las demostraciones
>> anteriores podían al menos ponerse en duda hasta que alguien no
>> demostrar que todas las reglas de inferencia utilizadas podían ser
>> reducidas a las establecidas por Gödel.
>>
>> saludos
>>
>> Pedro J.
>> ...[suprimido]...
>>
>
> El Teorema de Gödel no es un Teorema Matemático, es un teorema
> Metamatemático, es decir demuestra una proposición sobre las proposiciones
> de las Matemáticas, y a nivel lo más intuitivo posible lo que afirma es:
> Cualquier sistema axiomático lo suficientemente complejo como para contener
> a la Aritmética Elemental, es incompleto.

Pero yo me refería la de completitud, no al de incompletidud
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem

saludos

Aclaro un poco lo que significa
> esto para que los no físicos ni matemáticos puedan entenderlo (Si no lo
> consiguo, es que no doy pa más). Toda teoría axiomática da de forma
> explícita o implícita unas reglas de formación de proposiciones y de
> demostración de dichas proposiciones, estas últimas en la casi totalidad de
> caso son las de la lógica formal. Entonces a partir de las reglas de
> formación de proposiciones se construyen proposiciones, si de cualquier de
> estas proposiciones se puede afirmar que es verdadera o falsa, el sistema se
> dice que es completo, si podemos encontrar una proposición que no se puede
> afirmar si es verdadera o falsa el sistema se dice que es incompleto, por
> ejemplo si tenemos una "Geometría  General" sin axioma del paralismo,
> Lobatchvski, Boylai y Gauss demostraron que el axioma de las paralelas que
> era una proposición que podía ser construida a partir de sistema axiomatico
> sin dicho axioma no era ni verdadera ni falsa era indecidible,  entonces la
> "Geometría General" sería un sistema axiomático incompleto. Lo que demuestra
> Gödel es que todo sistema axiomatico suficiententement complejo como para
> ser útil es incompleto, es decir contiene proposiciones indecidibles, es
> decir que aunque añadamos el Axioma de las Paralelas a la "Geometría
> General" el sistema continua siendo incompleto (otra cosa es si somos o no
> capaces de encontrar esas proposiciones indecidibles) No se nada acerca de
> la forma de hacer demostraciones matemáticas, lo que si que es cierto es que
> no se demuestra igual un Teorema Matemático como un Teorema Metamatemático.
> Respecto de la consistencia, una forma de demostrar la consistencia de un
> sistema axiomatico es encontrarle un modelo finito por ejemplo si
> establecemos una MiniGeometría del plano con los axiomas de incidencia y
> paralelismo, el sistema formado por los cuatro vértices de un tetraedro es
> un modelo de esta teoría. El problema como siempre es cuando aparece el
> infinito, y lo que se desprende de la demostración del Teorema de Gödel es
> que es muy poco probable que pueda demostrarse la consistencia de los
> sistemas axiomáticos útiles. Es decir todas las proposiciones verdaderas de
> la Geometría, son verdaderas suponiendo que los axiomatica en la que nos
> basamos es consistente. Tampoco tenemos VERDAD con mayúscula en Matemáticas,
> tenemos verdades con minúscula que se podrían ir al carajo en caso de
> descubrir la inconsistencia interna de los axiomas.
> saludos pepet
>
>>
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